Tenemos dos partículas 1 y 2 con masas m1 y m2 y velocidades iniciales v1 y v2 , una positiva y otra negativa,
puesto que van al encuentro. Las velocidades finales las indicamos
con prima.
Vamos a obtener la relación entre las velocidades. Para ello
escribimos la conservación de la cantidad de movimiento y de
la energía cinética:
m1 v1 +
m2 v2
= m1 v'1 + m2v'2
m1v12 + m2v22
= m1v'12 + m2
v'22
Agrupando:
m1 (v1 - v'1)
= m2 (v'2 - v2 )
1
m1(v12 - v'12 )
= m2(v'22 - v22) 2
Dividiendo la ecuación 2 entre la 1,
obtenemos:
v1 + v'1 =
v'2 + v2
y reordenando obtenemos la relación entre velocidades:
v1 - v2 =
- (v'1 - v'2)
que nos dice que la velocidad relativa se invierte tras el choque.
Ahora, para obtener las velocidades finales en función de
las iniciales, tenemos que usar la ecuación de la
conservación del momento lineal y la ecuación de la
conservación de la energía cinética. Sin
embargo es más sencillo si en vez de usar la ecuación
de la conservación de la energía cinética
usamos la relación entre las velocidades. Así:
m1v1
+ m2 v2
= m1 v'1 + m2 v'
v1 - v2
= - (v'1 - v'2)
y operando obtenemos la solución para el caso general:
v'1 = ((m1
-m2)/(m1
+ m2)) v1
+ (2m2/ (m1
+ m2))v2
v'2 =(2m1/(m1
+m2)) v1 + ((m2 -m1)/ (m1
+ m2)) v2
Ahora limitamos la solución
al caso que nos interesa, que es m1 >> m2 ,luego la
partícula 1 es el planeta y la 2 la nave. Y la solución nos queda:
v'1 =v1
v'2 = 2 v1 - v2
Dijimos antes que v1 y v2 tienen signos opuestos, luego nave invierte su sentido (término -v2) y gana en velocidad el doble de la velocidad del planeta (término 2 v1)
